２０２４年９月１日実施の中学３年第４回北辰テスト数学。目標偏差値ごとに、解きたい問題、次の目標となる問題などの目安を考えてみました。
それぞれの問題をできるようにするには、どんなことを目標に勉強をすればいいのでしょうか？
偏差値６５へのチャレンジ 第３問（２）
第３問は毎回関数の問題が出題されています。（２）は応用問題で、正答率の低い場合が多くあります。
関数の応用問題の正答率はいつも低い傾向がありますが、正答率が同程度の他の問題に比べて解けるようになるが比較的容易な問題であることが多いという特徴があります。
関数は「式を使っていろいろなことを表す」ことが可能な、数学的に頭を使える問題です。数学というのは、複雑なことを簡単に扱うための技術でもありますから、これを適切に練習することで比較的容易に解けるようになります。
今回の問題は偏差値６５を目指す人にとってのチャレンジ問題。
第３問（２）のための知識の確認
第３問（２）を解くために必要な知識は次のようなものです。
・一次関数の式
・座標平面での長さの計算
第３問（２）を解きます
問題文を読みながら、図に情報を書き込んでいくと、まずは次のように書き込まれます。
直線lと直線mの式は最初に与えられています。
$${l : y=-x+10}$$
$${m: y=}\frac{3}{2}{x}$$
座標平面上で点は座標が分からなければ使い勝手が悪いですから、点P・点Q・点R・点Sの座標を求めたくなります。
とはいえ、どの点のx座標もｙ座標もわかっていませんから、点Ｐのｘ座標を文字kで置きます。
$${点Ｐ ( k ,}\frac{3}{2}{k )}$$
「四角形PQRSが長方形」とありますから、点Qは点Pからｘ軸に下した垂線の交点です。
$${点Q ( k , 0 )}$$
点Sは点Pとy座標が同じです。ｘ座標は代入して求めることができます。
$${点Sのx座標: }\frac{3}{2}{k=-x+10}$$
これより
$${点Sのx座標: x=-}\frac{3}{2}{k+10}$$
点Sの座標は
$${点S ( -}\frac{3}{2}{k+10 , }\frac{3}{2}{k )}$$
点Rは点Sからｘ軸に下した垂線の交点ですからｘ座標は点Ｓと同じです。
$${点R ( -}\frac{3}{2}{k+10 , 0 )}$$
これで、次のように４つの点の座標がグラフに入りました。
問題文に「QRの長さがＰＱの長さの２倍」とあります。これを式にしていきます。
$${ＱＲの長さ： -}\frac{3}{2}{k+10-k=-}\frac{5}{2}{k+10}$$
$${PQの長さ：}\frac{3}{2}{k}$$
ですから「QRの長さがＰＱの長さの２倍」は
$${-}\frac{5}{2}{k+10=2×}\frac{3}{2}{k}$$
これを解くと
$${k=}\frac{20}{11}$$
これが点Pnoｘ座標ですから、点Pの座標はy座標も代入して
$${点Ｐ (}\frac{20}{11}{, }\frac{30}{11}{)}$$
と分かりました。
これで解けました。
まとめ
この問題は主に次の２点の考え方で解けます。
１．分からない値は、とりあえず文字で置く （点Pのｘ座標をｋでおいた）
２．問題文の指定したとおりに式にする （QRがＰＱの２倍）
ほかに特に複雑な式の扱いもなく、問題文の通りに進めれば解けます。
そのため、それほど難しい問題とはいえないでしょう。
ところで、今回は点Ｐのｙ座標から点Ｓの座標を求めましたが、他の進め方もできます。
点Ｑの座標を求めた後、ＰＱの長さを求めます。
$${PQの長さ：}\frac{3}{2}{k}$$
問題文にある「ＱＲがＰＱの２倍」から
$${ＱＲの長さ：}\frac{3}{2}{k×２ = 3k}$$
として、点Ｒの座標を与えます。
$${点Ｒ： (4k, 0 )}$$
このｘ座標と点Ｐのｙ座標から点Ｓを
$${点S： (4k, }\frac{3}{2}{k )}$$
として、この点Ｓが直線l上にあるために、直線ｌの式に代入して
$$\frac{3}{2}{k = -4k+10}$$
これを解いて
$${k=}\frac{20}{11}$$
このように求めることもできます。
どちらも、問題文の通りに式を作って座標を与えていきます。そのため、どちらも解くための難易度や面倒くささは同じくらいだと思います。
今は偏差値６０くらいだけど、６５を超えたい人は、ぜひチャレンジしてみるべき問題でしょう。
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