２０２４年４月２８日に実施されました、中学３年第１回北辰テスト。
数学には、問題の難易度（特に複雑さ）と正答率のマッチしない問題がいくつかありました。（ ２０２４年４月北辰テスト 数学 難易度と正答率が合っていない問題 ）
比較的シンプルな問題でありながら正答率が低い問題が２題ありましたが、どちらも関数の問題です。この２題のうち第３問（２）について復習しました。
正答率の低い関数の問題、本当に難しい？
正答率が低い問題のもう１題は第1問（７）です。
それぞれの正答率は
第1問（７）
全体 １３．１％
偏差値７０以上 ７５．６％
偏差値６５以上 ４６％
第3問（２）
全体 ６．０％
偏差値７０以上 ６３．９％
偏差値６５以上 ２８．１％
正答率では、第3問（２）の方が低いのですが、解くために使う基礎知識としては、第3問（２）の方が簡単なものです。
使う基礎知識を比較してみます。
第1問（７）で使う基礎知識
・関数の式に代入して点の座標を求める
・変化の割合の定義
第3問（２）で使う基礎知識
・関数の式に代入して点の座標を求める
・ｘ軸に平行なら、ｙ座標の値が同じ
・ｙ軸に平行なら、ｘ座標の値が同じ
・ｘ軸やｙ軸に平行な直線の2点間の長さを求める
・1次方程式を解く
第3問（２）の方が多いのですが、どれも多くの中学生ができる内容ばかりです。第1問（７）については、変化の割合の定義を使える中学生が多くないのです。
変化の割合は「1次関数ならば公式のように求められるけれど、定義により解いているわけではないので、他の関数では解けない。」という中学生が多いのです。
けれども、第3問（２）については、このようなことはあまり見られません。
そのため、第3問（２）の方が簡単だとも考えられるのですが、正答率がとても低いのです。解けないのではなく、時間がなかったのか、問題文が長いか読まずに飛ばしたのかもしれません。一番多いのは「やってみようとする前に、解けなさそうだから解かなかった」という人かもしれません。このような生徒の意見はよく聞きます。
ところで、どうしてやってみる前に、解けなさそうと分かったのでしょうか？不思議です。
やってみなければ、解けるか解けないかは分からないはずです。問題は「解き方が思い浮かぶ ＝ 解けそう」で、「解き方が思い浮かばない = 解けなさそう」という勉強です。
この原因を色々と探してみるのですが、可能性としては勉強が「解き方を学ぶもの」になっているからと思います。
けれども、勉強は「解き方を学ぶもの」ではありません。
初めはあまり違わないように思う人も多いですが、勉強は「どうなっているか？を知るもの」です。物事や現象の理解のしかたや、どうなっているかを把握するための道具が勉強と考えています。このように勉強を進めると、応用は楽です。（計算練習はしっかりとしなければなりませんが。）
第3問（２）
第3問（２）を解き進めます。
解き方は「問題に従うこと」だけです。
問題に従うというのは
・問題文を読みながら、紹介された点の座標を与えること。ただし、ｘ座標の値やｙ座標の値が分からないときは、文字で置きます。
・式にできることは、問題文の言葉を式にすること
この2点です。
文字で置くというのは、数学ではよく使います。とりあえず「分からない値は文字で置く」と考えておいても構わないでしょう。
ただ、この問題では問題文の後半で「点Aのｘ座標をｔとする」と指定されます。はじめに後半を確認しておけば、最初からｔを使えばいいですが、そうでない場合は適当な文字でおいておいて、後でｔに直す感じでも良いと思います。
進めます。
問題文を読んでいくと
点Aがすぐ出てきます。
点Aのｘ座標をｔとして、関数の式に代入して点Aの座標を求めます。
$${点A(t,t+2)}$$
次に点B。点Bは、点Aからｙ軸に平行に直線を引き、直線ｍと交わった点ですから、点Aとｘ座標が同じｔです。これを直線ｍの式に代入して座標を求めます。
$${点A(t,}\frac{1}{2}{t)}$$
同じように点C。点Cはｘ軸と並行ですから、点Aをｙ座標が同じです。これを直線ｍの式に代入して、ｘ座標を求めます。
$${t+2=} \frac{1}{2} {x}$$
$${x=2t+4}$$
$${点C(2t+4,t+2)}$$
次に点D。点Dは点Cを通ってｙ軸に平行な直線とｘ軸との交点です。ｘ座標は点Cと同じです。ｘ座標上では、ｙ座標が０です。
$${点D(2t+4,0)}$$
ここまでで、問題文の1段落が終わります。
点は図に書き込みながら目に見えるようにしていく方が楽ですから、次の図のようになっています。
第2段落最初に AB+AC+CD=15 とありますので、これをグラフを見ながら式にしていきます。
$${AB=t+2-}\frac{1}{2}{t}$$
$${AC=2t+4-t}$$
$${CD=t+2}$$
となりますので
AB+AC+CD=15 は次の式になります。
$${t+2-}\frac{1}{2}{t+2t+4-t+t+2=15}$$
これでｔの方程式ができましたので、整理して解きます。
$$\frac{5}{2}{t+8=15}$$
$$\frac{5}{2}{t=7}$$
$${t=}\frac{14}{5}$$
こうして、tの値が分かりましたので、点大にゅして研鑽すればAの座標が分かります。
$${点A(}\frac{14}{5}{,}\frac{24}{5}{)}$$
これで終わりです。
途中が少し長いですから、問題文を最後まで読んでから解こうと思うと、混乱してしまって難しいと感じるかもしれません。
「どうなっているか」が分からないのに「どう解こうか？」と考えれば難しいのは道理です。「どうなっているか」を頭の中だけで把握しようとする習慣が、問題を難しく感じさせると言ってもいいのかもしれません。
そうではなくて、問題文を読みながら、その順に従って点を求め、式を作っていくことは「どうなっているか」を把握しながら進めることです。この場合は、最後に「点Aの座標を求めよ」と言われても、もうほとんどが分かっていますから、あとは作ってある方程式を解くだけて答えが出ることが分かるでしょう。
このようなことは、大人や勉強ができる人からすれば当たり前に思えることかもしれませんが、それができないのです。そうなるように学んでいないのです。
そして、当たり前と思える人も、勉強をしながら体系的にこの視点を身に着けられたら、もっと明確になりますから、もっとできるようになるでしょう。
練習すれば、多く人のができる問題でしょう。チャレンジする価値があります。
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